希尔伯特第八问题有望终结： 孪生素数猜想获证！

发布时间：2024-11-02 21:03:34 丨 浏览次数：

　　等量单位元向不等量单位元变换就是超距时空通信，其实质就是一次解密过程，量子论在目测的实验世界里仿佛不合逻辑■■，违背了同一律■■★◆★，矛盾律和排中律，好像用子范畴推出了大范畴，用果推出了因◆◆★◆■。但在思维世界里是逻辑自洽的，量子纠缠在思维世界里并非是0时间通信◆◆■，在单位元的世界里，存在另类时间差，利用另类时间差可完成超距时空通信★■★◆■■，故量子纠缠通信依然是耗“时”的，只不过是不同维度的耗“时”■★■◆，不可目测的超光速对象是存在的。量子论思维是用前继生成元推出后继生成元，继而貌似通过局部推出了整体■◆★，貌似用未来决定了过去，其实仍是演绎的，是大范畴推出了小范畴■◆■★■★，前继生成元是一种时序大范畴，就象数学归纳法仍是演绎推理一样◆■★。故相对论与量子论是可以统一的★★，是自洽的■◆■★★。

　　因为偶数相邻递增可反复获得相同的任意给定的偶数差值★◆★◆★，这就需要不断出现新的素数对，它们的差值间距也可以得到任意给定的偶数，这就必须有新素数对不断地匹配产生，否则就不能产生新增相邻偶数。故｛p1-p2｝的素数对集合必为无穷无漏集合◆★◆。由此可证明波利尼亚克猜想成立。强孪生素数猜想成立是其直接推论。反推亦成立，可见两个命题等价◆★■★■。

　　因为两偶数之间差值为2n的素数对，随着偶数的无穷延伸而无穷出现，再根据相邻论思想得知★◆■，新增偶数必有匹配的新增素数对之和相对应■★◆■★■，也同时必有匹配的新增素数对之差相对应，否则无法产生新增偶数。因此任意偶数差值的素数对都有无穷组。

　　证明■★★：全体例外偶数与全体可表偶数一定是奇素因子互素的，因为相邻偶数是所有素因子互素的（根据三元方程中两元互素必三元互素而得到该引理★■◆， 现已知 2n与2m是一对相邻偶数，2n+2=2m★■◆★◆◆，即 n+1=m，1 与n互素，n与m 必有一奇数★■■，故n与m必奇素数互素◆■★，否则约掉共因子会产生整数等于分数，矛盾）。不难理解■◆，要产生新的例外偶数2h，要么是例外偶数2h的后继偶数，要么是可表偶数2m的后继偶数，第一个产生的例外偶数都要与所有的可表偶数互异，因此例外偶数2h一定是累积同所有可表偶数2m的奇素因子互素的，必须要有第一个例外偶数，才会有例外偶数的后继例外偶数。由于第一个例外偶数2h须同奇素数全集互素，因可表偶数2m全集中m含所有素因子，故第一个例外偶数2h会与全体可表偶数的所有素因子互素而不存在，即h还同m中的2因子互素★◆◆，故h也不会是2幂数，于是例外偶数的后继例外偶数也就不存在■★◆■★◆。如此全体例外偶数只能靠全体可表偶数后继相邻产生，别无他法■★★，于是全体例外偶数若存在，那必有相邻的可表偶数，它们约掉一个 2 因子后必是互素的◆■★■。这一点由相邻互素定理决定◆◆■◆■。

　　【关键词】互素版哥德巴赫猜想；孪生素数猜想；波利尼亚克猜想；斋藤猜想；梁定祥猜想；克拉梅尔猜想；整数三元互素定理；整数相邻互素定理；素数无穷定理★◆；格林-陶哲轩定理◆◆■■；素数数列有限长定理；素数数列组数无限长定理；素数差值的差值等于2存在无限匹配解定理。

　　文学家的见解和数学家发现的定理殊途同归。如果把方向看成是因变量， 行走看成是自变量的话，人生就可以用一个函数关系表达，只不过这个函数关系不是直接通项表达，而是相邻迭代描述■★★◆★◆，对于离散量数列■◆★★◆■，几乎是不可通项表达的★★★■★★。能够完成任意给定数的后继相邻素数之求解目标◆◆，进一步说明了所有整数类的离散数列是可以用整数类的紧邻数列描述的，但不可一劳永逸地用通项描述，而是可以完成相邻迭代描述■■★。胡适说：◆★★◆■★“大胆猜想★■，小心求证”是人生写照，能完成求证者■★，必看到或新理解了更深刻的猜想或公理◆◆★。

　　未观察的信息包是不确定与确定的叠加■★◆◆，观察带来的坍塌，是选择信息包中不同单位元的关联子集所带来的结果。选择了a为确定■■◆★■■，b就不确定，选择了b确定，a就不确定。素数特征向量的矩阵变换到素数特征向量的特征值及其可逆过程是相邻论运算，是量子叠加和量子坍塌的数学呈现。量子技术、量子通信不是一种超光速的信号传递，而是对信息载体的一种加密解密过程。可目测的世界光速运行是极限速度，不可目测的世界存在超光速运行，量子论关心的恰是不可目测而仅能心算的世界。

　　以上完成证明了所有的两孪生素数相加可以得到 36n，那么反过来，所有的 18n 是否可用两孪生素数之和表达◆★？

　　令 2m（含 2p 亦含 2^w）为互异型可表偶数，互异型可表偶数就是能用两互异奇素数之和表达的偶数★◆◆■◆★，2p´为例外偶数，例外偶数就是不能用两互异奇素数之和表达的偶数，p、p´为互异奇素数，它们的并集须囊括所有奇素数q。那么必有 2p´-2p=2t 或 2p´+2p=2s，p´与 p作为单素数因子因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必累积互素互异，p´与t必累积互素互异，或者p与s必累积互素互异◆◆■★◆◆，p´与s必累积互素互异。由于构造t或s的素因子始终要与p及p´互素■■◆◆，其累积结果，导致要与所有的奇素数q互异而互素，初项t或s与每个q（所有素数）皆互异而互素乃必要条件■★■，如此t或s就没有奇素因子可构造，加上2p´-2^w =2t 或2p´+2^w=2s，t与偶素数2也互素■★◆★■◆，故例外偶数2p´不存在。

　　因为首个例外偶数同可表偶数约掉2因子后是相邻互素且全体互异的。首个例外偶数如果存在，要么同第一个可表偶数互素互异，要么同第二个可表偶数互素互异，…要么同第n个可表偶数互素互异，因此首个例外偶数如果存在■◆★★，必须同所有可表偶数累积互素互异★◆，而可表偶数含所有素数因子，于是得出首个例外偶数无素数因子可构造。由于不存在第一个例外偶数，故也就不存在所有后继例外偶数。例外偶数是空集。该证明体现了线性世界必须服从同一律，矛盾律，排中律。

　　证明哥猜的数学核心引擎是相邻论和重合法，相邻论是最底层的简化和优化工具，侧重于互异互素运算■◆■★■，重合法是最底层的变换和映射工具，侧重于同态同构运算★◆。两者结合证明了例外偶数是空集。重合法偏于归纳推理，用于交换过渡，是指向守恒的，是从等量到等量的一种闭合思维，它是相对论的幕后数学推手◆■■★◆★；相邻论偏于演绎推理，是指向熵减熵增的■◆★◆◆，是从不等量到不等量的一种开放推理■■■，它是量子论的幕后数学推手。反证法与数学归纳法有归纳法的外壳思想★★，但底层子集序列到另一子集序列之间是演绎的，故一切归纳法的本质都仍是演绎的，反证法也是。大道理靠自明靠逻辑辅助，小道理可完全靠逻辑。孪生素数猜想获证可帮助我们去领悟更深刻的基础数学思想。

　　根据皮亚诺公理，所有偶数都是2的后继数的后继数……不断相加2可得到◆■★■★，再根据（p1-p3）-（p4-p2）=2 的结论★★◆，那么p1-p3=2n 的等式判定就可以由此 得到◆◆◆★■■。也就是说◆■◆，通过（p1+p2）-（p3+p4）=2 和（p1-p3）-（p4-p2）=2 这两个代数变换等式完全等价，于是就可以推理出（p1+p2）和（p1-p3）一样，差值为 2 的所有后继数产生了所有偶数。斋藤猜想于是就得到了证明◆★。

　　爱因斯坦的相对论其本质是等效原理，物理规律在不同时空处处一致；量子论的本质则是相邻时空存在互异对象，这就是泡利不相容原理★■★■◆★。两者的统一就是数学中的不等量分割大于或等于等量分割。它所对应的就是数论中的整数相邻互素定理■★■。数论对量子论的深度解释从此将拉开序幕★■★■。量子论还可以用不完备定理的逆向过程来解释，哥德尔发现了一个等量的世界是有局限的，但如何可逆◆★，反熵则没有找到思路，相邻论则找到了一个可回归本原的思路★■◆■★★。

　　在时间单位元的同时世界里存在不同时现象，在光信号感觉的世界里是同时的，但在心信号感觉的世界里是不同时的。

　　同胞们，这个结论可是能获得科尔数论奖的■■◆，张益唐因“间隔为定值2w（7000万内）的素数对必有无限组★◆”而获得该项奖，千万要认线w的素数对必有无限组■■★★★，本文作者是通过发展中的初等数论用归谬法证得的★◆★■■■，假如间隔为定值的素数对是仅有限个的■◆，素数数列的组间隔就是有限个的，后面不再有该定值的素数数列（含素数对），也不会有间隔为不定值的其它素数对，因为新增间隔为不定值的素数对需要新增间隔为定值的素数对为前提，否则相邻素数之比会超过2，违背素数定理■★◆，也会同伯特兰-切比雪夫定理相矛盾。这就意味着要么没有新增素数数列，会同欧几里德素数有无穷多个的定理相矛盾，要么有一个贯穿到底的新增素数数列，会同素数数列是有限长的定理相矛盾。素数数列是有限长的定理很容易证明◆◆■◆★，当素数数列的项数含初项素数因子★◆，该延申项就不再是素数，素数数列就中断了，而自然数n的延申是含任意素数的，故素数数列定是有限长的，还可依次证明，素数是没有通项公式的。基于以上三条路径都会矛盾■■◆，故可归谬得出间隔为定值2w的素数对必有无限组★★■。

　　爱因斯坦在1930年写给数学家奥斯瓦尔德·维布伦（Oswald Veblen）的信中写道，“大自然隐藏她的秘密◆★■◆★，是因为她崇高，而不是因为她是个骗子。■■■”凡隐藏的秘密都有一个崇高的动机垫底，没有内涵描述的外延定是空集◆★。凤毛麟角可以信，龟毛兔角不可信。已知：凤毛麟角+凤毛麟角=人民英雄，龟毛兔角+龟毛兔角=假想敌=子虚乌有。还已知：人民英雄+假想敌=普罗大众。故不难推出人民英雄就是普罗大众，普罗大众就是人民英雄。假想敌是没有数乘单位元的■★★，也没有内积生成元。

　　2.由于 9（k+2+t+2+1）是孪生素数之和的结构，一旦获悉它是一对素数之和时，它就一定是两个孪生素数，其他素数差值不同■★，模数结构不同，无法同孪生素数的模数结构一致■★■，因此可证明梁定祥猜想成立。因为 n2 属于 n 的一个子集。到此，梁定祥猜想强版以及梁定祥猜想弱版也就获得了完全证明■■。

　　根据哥德巴赫猜想的推论（p1-p3）-（p4-p2）=2 有无穷组，即共轭差之差等于2的奇素数对有无穷组■■◆★★。只要共轭差等于任何偶数2k的素数对有无穷组， 那么就可以推理出共轭差等于2k-2 的素数对就有无穷组，于是就可以递推到差值为2的素数对有无穷组■◆■。虽然可以绕过哥德巴赫猜想直接证明梁定祥猜想◆★■★■，但绕不过相邻论，可以用相邻论的思想直接证明梁定祥猜想。

　　有位作家说，人的一生很像是在雾中行走，远远望去，只是迷蒙一片，辨不出方向和吉凶★★■◆。可是，当你鼓起勇气，放下忧惧和怀疑，一步一步向前走去的时候★◆★，你就会发现，每走一步，你都能把下一步路看得清楚一点。◆★◆“往前走，别站在远远的地方观望！”你就可以找到你的方向。这就是素数不存在通项公式但存在迭代表达的文学描述。

　　斋藤猜想还可以用另一种方式推理得到。已知哥德巴赫猜想被证明成立， 即 p1+p2=2n（p 为奇素数◆◆◆◆■■，n 为自然数，以下相同）。 又因为（p1+p2）-（p3+p4）=（p1-p3）-（p4-p2）（代数变换所得）★★；还得知相邻 偶数之差必有（p1+p2）-（p3+p4）=2◆■★◆◆★，因为 p1★◆■◆◆、p2、p3◆◆★■、p4 两两组合的和充满整个偶数集★★◆★。

　　以下为证明关键：首个例外偶数2h中的h1要么同可表偶数2m中的m1互异而相邻，相邻而互素★◆◆■★，且不能等于m2，也不能等于m3，也不能等于…◆★★◆★，也不能等于mi◆■■★◆，这就要求与它们逐个皆相邻互素★◆◆★★■，因为不能相继等于其中任意一个mi，只能全部相邻互素一遍，h是同一个可表偶数之并集U（mi）相邻互素◆★■■◆，其中i∈1~n，于是例外偶数2h中的h，与可表偶数2m中的m须累积互素。而可表偶数2m全集是蕴含所有素数因子的（已证2p是互异型可表偶数◆■★★★■，故m含所有奇素数因子p，8是可表偶数，故m也含偶素数因子2）■★◆■■，故h与m累积互素的结果是◆★◆◆，h无素数因子可构造，于是例外偶数2h为空集■◆★◆。（证毕）

　　如果例外偶数2m´有最简本原解，2m´=p-q，因为彼此互素，那么例外偶数就是自身的最简本原解，就是可表偶数■★，这与例外偶数的定义发生矛盾，故例外偶数2m´不存在最简本原解，于是也就不存在关于例外偶数的通解■★★。

　　孪生素数猜想仅仅反映了无穷性，而梁定祥猜想表达了素数无漏性的一面，素数的无漏性无疑比素数的无穷性判定更加重要。

　　这里的全集偶数相当于普罗大众，可表偶数相当于人民英雄，例外偶数相当于假想敌，普罗大众=人民英雄+假想敌，现假想敌为子虚乌有，那普罗大众就是人民英雄★★◆★，人民英雄就是普罗大众■★★◆■■。可见二元加法运算在可表偶数上是封闭的◆★，于是2n=p+q（其中n＞3，p与q为不同奇素数）的互异版哥猜命题就成立了。

　　2013 年张益唐②证明了差值不大于7000万的相邻素数对有无穷组，且有数学家已将差值下确界缩小到万，甚至246◆■■。尽管张益唐在答记者问时说，用他的方法差值不可能缩小到最小极值2，然数学界攻克孪生素数猜想总算有了较大进展★★，一时间引起了国际数学界广泛关注★■■◆，期待孪生素数猜想最后破解的热情空前高涨★■■■。数学界最后证明孪生素数猜想的机缘已经成熟，笔者完成对孪猜的证明，也就不敢私藏。

　　已知，2p1+2p2+4=2n，p1，p2 为类型素数■★，n 为自然数，但不知道是否囊括了所有自然数。又因为，p1-p2=2 的孪生素数对有无穷组★■，所以 2n 是无穷量★★◆◆◆， 还知道，孪生素数对之间差值的差值◆★★★◆◆，可构成等差数列。 即 （p1-p2）+（p3-p4）=4 故 （p1+p3）-（p2+p4）=4 我们还知道孪生素数对会以间隔差大于 2 的不规则数方式无穷出现◆◆。就是说偶数除用两素数之和可全部构造外，还可确定特殊类素数可构造出特殊类偶数。偶数从 2 开始，每次相邻递增到第 9 个偶数，都可以用非同组的两个孪生素数之和表达。这是强化版的梁定祥猜想。 p1+p2=18n-2（n 为非 0 自然数■★■◆★，p1、p2 为非同组孪生素数） p1+p2=18n（n 为非 0 自然数■★，p1、p2 为非同组，且不同前同后即非模 3 同 余的孪生素数） 我们来证明这个猜想。

　　我们把任意偶数拆分为两个不同奇数的三元方程化约为互素方程： ap-bq=2n（即通过数乘消去律，消去最大公因子◆◆■，把偶数任意分割的等式式变为不可约多项式方程）（其中 p、q、a、b 互素，且 p、q 为奇素数，a、b 为自然数★★■，n为大于3的自然数）

　　素数p与形如p+2的素数对有无穷多组，这个命题陈述非常简单★◆★★■★，但证明起来不容易◆◆。

　　可表偶数用两互异的素数相加的定义在证明哥猜一文中★◆，我们已经用过了★★◆，现在我们用两互异的素数相减来定义可表偶数，同样可得到在此条件下的例外偶数是空集◆■。因为没有单位元的数集定是空集◆■，没有素数基础解系的数集定是空集。

　　于是我们得到 2n=p-q★★◆■，差值2也在其中◆★◆■，以上可知存在差值无限趋大的素数对■◆，那是不是有一种差值为定值的素数对有无穷组呢？张益唐就做了这件事，他证明了差值 7000万以内有无穷组的素数对可满足要求，这样根据鸽笼原理，就至少有一类差值素数对担当了向可无穷分布的使命。那么有没有别的办法可证明这个结论◆★■？显然可以绕过张益唐的证明结果★◆。

　　三篇解决希尔伯特第八问题的论文就全部完成了，回顾下我们的证明，几乎没有离开希尔伯特的特征值方程思想，前人只是差一点没有朝素数基底解方向去思考，否则解决希尔伯特第八问题就没有我们的事了★■。曾经一位大觉者跟我说过，任何提问者都自带了能解决问题的方案，即问题本身皆暗含了答案。希尔伯特能很稀罕地提出这个问题，就一定自带了能解决该问题的知识基础。果不其然◆★★★■◆，希尔伯特的数学知识结构正是可解决该问题的前提。（文/罗莫）

　　既然所有的偶数及各种类型偶数都必有最简本原解2w（即数乘单位元，也是点乘和叉乘的单位元），不小于8的全集偶数及各种类型偶数由最简本原解偶数2w或2w的数乘无漏构成，也可以说◆◆★■■◆，由可表偶数2m或可表偶数2m的数乘无漏构成。所有的偶数都必须能这样分割和分类，类型偶数是从最简本原解上分类的◆◆■◆★■，例外偶数也概莫能外■■★■◆■。可是例外偶数根据此规则◆★■■，由于在可表偶数上是空集★■★■■◆，在最简本原解上也必是空集，凡是空集的数乘必还是空集。因为例外偶数是空集，所以可表偶数就等价于不小于8的全集偶数。于是互素型哥猜就获证，补上特例3+3=6，欧拉型哥猜也就获证★◆★。如果用两奇素数之差定义可表偶数★◆■◆◆★，一样成立★★，于是斋藤猜想获证。详细证明见本文作者新书《数学底层相邻论和重合法》中的第二篇论文《差值等于 2n（n ≥ 1）的素数对各有无穷组》◆★■◆■◆.

　　依次把（p1-p3）=4 素数对作为新的（p4-p2）代入等价的 2kn◆◆◆★★，可知素数差值新一类的（p1-p3）=6 有无穷无漏组，否则间隔为4的素数对之后就无法产生差 值为2的紧邻偶数◆■◆■。

　　若素数对之差不能无穷新增◆■★◆，就不能获得无穷偶数◆★◆★，显然会同斋藤猜想的已证结论相矛盾◆■★。若差值任意给定的素数对的个数不能无穷新增，就不能获得无穷相邻偶数，这也与斋藤猜想的已证结论相矛盾。

　　2013年5月，张益唐证明了“差值在7000 万内的素数对存在无穷组★■◆◆”。在此基础上可证明强孪生素数猜想成立。后来进展到间隔246内的素数也有无穷组，但出现了解析数论致命性瓶颈◆◆★◆★◆“奇偶性问题”，无法继续完成证明强孪生素数猜想★◆，于是就有人气馁地认为，根据哥德尔的不完备性定理，强孪生素数猜想是无法证明也无法证伪的■★■◆■，但在中观逻辑⑤看来，可以对公理进行开放性理解◆◆★★★■，一定可逆流而上完成最后证明。

　　[6]高尔斯. 普林斯顿数学指南 : 第 3 卷[M].齐民友◆◆■■，译 ★■★■★. 北京：科学出版社★■■◆， 2014■◆★.

　　[3] 蔡天新 . 数论：从同余的观点出发 [M]. 北京◆★：高等教育出版社■■★◆■，2012★★◆◆.

　　因为所有奇素数q的2倍，定是互异型可表偶数2p以及互异型非可表偶数 2p´的并集◆★◆■，意味着t或s要始终与所有的奇素数及偶素数互素◆★★★◆★。因此2t 或2s 就不存在，故2p=2q，2q必为互异型可表偶数。如此就证明了互异型可表偶数包含了2倍的所有奇素数q。这就是所有奇素数q的2倍为互异型可表偶数定理，如此互异型可表偶数当然也就蕴含了所有的奇素数因子。

　　据（p3-p1）-（p2-p4）=2◆◆★■■★； 当 （p3-p1）=666 有无穷组时；则 （p2-p4）=664 有无穷组★★■◆◆；当 （p3-p1）=664 有无穷组时★◆；可递归得到（p2-p4）=662 有无穷组； ……◆■★■， 反复进行，必可得到：当 （p3-p1）=4 有无穷组时◆★★◆★；可递归得到（p2-p4）=2 有无穷组★★；而此时的无穷素数对（p2-p4）就是孪生素数，到此★■■★◆，孪生素数的无穷性就得到了证明■■★■★。

　　龙头偶数 2p+2 的两素数表达■◆★■，必须要 有孪生素数存在才能表示，如果不存在表示★■◆★，那么其他共轭素数对甚至素数多 项式也无法完成表示◆★★◆■■。 因为根据哥德巴赫猜想的推论（p1-p3）-（p4-p2）=2 有无穷组，即共轭差之差等于2的奇素数对有无穷组，只要共轭差等于任何偶数2k的素数对有无穷组，那么就可以推理出共轭差等于 2k-2 的素数对就有无穷组，否则无法获得后继偶数，于是就可以递推到差值为 2 的素数对有无穷组。可见没有孪生素数之和表达龙头偶数的假设是不真的，它是递推的基础，故每个龙头偶数都必有孪生素数之和可表示，这个结论就替代了哥德巴赫猜想◆★◆◆， 可以用来证明梁定祥猜想成立★■◆★★■，但仍在相邻论的证明方法中★★◆■★。

　　若三元正整数方程 a+b=c 存在 gcb（a，b）=1，则必定存在 gcb（a★◆，c）=1 及 gcb（b，c）=1★◆。证明如下： 假如gcb（a， c）≠ 1，那么 a与c约掉公因子k后，第一项和第三项还是整数，但第二项 b 约掉 k 后却成了真分数，如此移项合并后整数就等于分数了，矛盾◆◆，这就反证了 gcb（a◆■，c）=1 正确★★◆◆★，同理可证 gcb（b，c）=1 也正确◆★。 以此为引理可轻易证明正整数相邻互素。已知n与m是相邻正整数，则有n+1=m，因为n与1互素，根据三元方程互素定理，则必有 gcb（n，m）=1。整数相邻互素定理。这个简单的定理■■★◆■，用处极大，它是相邻论思想最底层的数学框架◆★。很多深刻的数学思想都来自于它。

　　我们再来看为什么孪生素数相加总能构造出 9 因子偶数◆◆★◆★★，是不是需要孪生 素数与其他特殊类型的素数匹配相加才能获得？奇数的构成分三部分：3 因子数■◆◆★，其他素数因子数，所有素数。因此其他素数因子数和所有素数★■◆■★◆，它们除以 3，要么余数为 1，要么余数为 2，而孪生素数是相邻素数，所以它们的余数， 若一个余 1，另一个就定有余 2 的，因此两两相加就会产生 3 因子数。即定存在： p1=3a+1★■■◆■★； p2=3b+2； p1+p2=3a+1+3b+2=3（a+b+1）； 由于 a、b 为非 0 自然数，由于 p1、a 互素，p2◆■■◆■◆、b 互素，且 a 为偶数，故定存在： a=3k 或 a=3k+2（因限为偶数，故仅分为 2 类） b=3t+2 或 a=3t（因限为奇数，故仅分为 2 类） 还因为 a、b 不同余， 故 a+b+1=3k+0（或 2）+3t+2（或 0）+1=3（k+t+1） 故 p1+p2=3a+1+3b+2=3（a+b+1）=3×3（k+t+1）=9（k+t+1） 由于两素数相加必是偶数◆■◆◆，故（k+t+1）必为偶数，k、t 就互为奇偶。

　　每次令第一项与 2n 互素◆■，必三元互素◆■◆■，否则有分数，这与差值必有整数解矛盾，故三元方程，若两元互素必三元两两互素。

　　斋藤猜想被证明成立◆★★，波利尼亚克｛p1-p2｝=｛2n｝猜想自然也就得到了证明■◆■◆。而波利尼亚克猜想是包含强孪生素数猜想的，即孪生素数猜想的原命题：差值为 2的素数对有无穷组。因为 p1-p3=2n，即两素数之差可以获得全集偶数，且素数对的间隔趋于无穷◆■★■★，该间隔素数对的组数就趋于无穷（基于格林-陶定理）。还因为（p1-p3）-（p4-p2）=2（基于斋藤猜想获证）★■◆◆，即间隔为 2 的相邻偶数所匹配的素数对有无穷组。当（p1-p3）为 2n 有无穷组时，必存在无穷组差值为 2n-2 的素数对｛p4-p2｝=｛2n-2｝。如此迭代推进，可知间隔为任意偶数的素数对皆有无穷组，波利尼亚克猜想获证★◆■■◆。

　　斋藤猜想是哥德巴赫猜想的等价命题◆■◆。根据斋藤猜想的推论： （p1-p3）-（p4-p2）=2 有无穷无漏组变换★◆◆，可知（p1+p2）-（p4+p3）=2 也有无穷无漏组，于是（p1+p2）也一样能够迭代获得2n，即（p1+p2）=2n，其中p为所有奇素数，n3。 以上就证明了孪生素数猜想与哥德巴赫猜想等价■■■★◆。

　　如果例外偶数2m´没有最简本原解，2m´≠ p-q★◆■◆■，那么例外偶数的原方程也就没任何通解★★★◆。因为原方程所有解都是最简本原解（既约正解或说基础解系）的数乘◆■★◆★◆，最简本原解是空集，它的数乘（含叉乘）也必是空集，它的点乘也必是空集◆■■★★★。总之，例外偶数横竖是空集，可得同构等式2n=2m ∪2m´=2m ∪ Ø，故2n=2m。于是可证2n=p-q为同构等式，其中n＞0，p、q互素且为所有奇素数。

　　[4] 哈代 . 哈代数论（第 6 版）[M]. 张明尧，张凡，译 . 北京：人民邮电 出版社，2010■■◆.

　　同样还得知相邻偶数之差必有（p1-p3）-（p4-p2）=2，因为在整个偶数相邻间距中处处成立■◆；另外，既然素数对之和相邻数公差处处等于2◆★■■■◆，那么所有的素数对之和的任意偶数公差都可以推理得到。每一次相邻偶数的差值为2，任意次相邻就可以得到偶数差值 2n，偶数差值存在 2n，素数对之和的差值就存在2n，素数对之差的差值也存在2n。对斋藤猜想还可以进行补充判断◆■★★◆■，那就是不但存在两素数之差等于2n◆■◆★，还存在两相邻素数之差等于2n■■■◆■◆，尽管相邻素数之间的比值是有限的，大于1小于 2（素数定理已完成证明）■◆■◆■★，但素数趋于无穷大时，相邻差值也趋于无穷大。

　　我们可以假设这个素数间隔无穷可列值为2w，根据 2n=p-q 的推论★■◆■★◆，必有 （p1-p3）-（p4-p2）=2（从相邻偶数关系推理而来，且根据斋藤猜想获证已知两组素数差值为不定值时两组皆有无穷组解），即间隔素数对的组间隔为2时各有无穷组解■★，现还已知（p1-p3）=2w（w为定值）拥有无穷组解，那么与之匹配的间隔差值等于2的素数对（p4-p2）就一定也拥有无穷组解◆★★◆。

　　根据鸽笼原理，必有差值在7000万数域内的某一定值的素数对有无穷组，假如这个“至少有一个”的中标鸽笼差值数是 66666666，如果不是★◆■◆◆，没有关系■■■★，至少在该有限数域范围内能枚举一个■◆◆★；于是我们就可以理直气壮地宣布◆★★◆，差值等于 66666666 的素数对有无穷组，如果不是，那么我们改口宣布，差值等于 666 的素数对有无穷组。好了，有了这个判定◆★★■■■，我们来继续推演★★■■★■。

　　这个证明结论可以推理出，孪生素数是无穷的◆◆★★。另外，由 于孪生素数之和可以表示所有的18n，可以推理出，共轭差不同的素数对会产生， 至少共轭差 2k+2 或 2k-2 的素数对会出现，由此迭代推演■■： 将 2k1+2=2k 带入 2k+2 就会得到 2k1+4； 将 2k1+4=2k 代入 2k+2 就会得到 2k1+6◆◆；……以此类推；将 2k1+2m-2=2k 代入 2k+2 就会得到 2k1+2m★■★■★。 到此差值 0 到 2m 的共轭素数对都得到了，故共轭素数对 p+q=2m★◆■★，哥德巴赫猜想获得证明。所以梁定祥猜想和斋藤猜想一样，都是同哥德巴赫猜想等价的命题。

　　“两素数之差可等于任意偶数”，此判定随着哥德巴赫猜想获证，而成为强哥德巴赫猜想的一个等价定理★◆。前面用可表偶数的差性定义，可直接证明可表偶数互为补集的例外偶数是空集，从而可证明斋藤猜想成立★★■★◆。斋藤猜想还可以与哥猜互推成立★■■◆★。之前已经证明通过可表偶数的差值定义与和值定义可分别证明斋藤猜想和哥德巴赫猜想成立■■★■■，当然也可以用别的办法来互证。

　　由于组与组之间不能仅递增间隔（孪生素数除外），那只能无限匹配间隔递减，且根据鸽笼原理必有偶数为给定值的间隔素数对有无穷组，如此往下穷追，就必有偶数为2的间隔素数对有无穷组，因为必须无穷找到更小的互异偶数做组间隔，这样孪猜就获证了■★◆■■◆。孪猜获证，那间隔2n-2的素数对就有无穷组；间隔2n-4的素数对就有无穷组★■◆；……如此，波利尼亚克猜想就获证了。

　　不大于任意给定偶数2n间隔的素数对假如为有限组★■◆◆◆，那么大素数的增长必然相邻间隔要大于2n★◆，否则素数数列会无限长，矛盾；但选择大素数区间的间隔无穷无漏大于2n★★★，又会与伯特兰定理矛盾，而不新增素数又会与素数无穷个相矛盾。故归谬可知间隔给定数2n的素数对有无限组★◆■■★。继而可推出给定的互异递减间隔为2n-2t的素数对也有无穷组。因为间隔2n的素数对有无穷组■★◆■★，那无穷组间隔2n的素数对其组间隔偶数又不能仅大于2n，否则大素数的间隔就不能构造所有偶数，也会与伯特兰定理相悖，且不能没有互异组间隔，否则素数数列会无限长，故必有偶数小于2n的间隔素数对有无穷组。

　　例外偶数是可表偶数的补集，通常理解为彼此独立，没有相互制约的关系★★◆◆◆★，可偏偏这一点反直觉，它还必须是可表偶数的数乘，它还必须满足可表偶数的二元加法运算，正是因为在这一点上有主和次的紧密牵扯，不等量分割才给万物之间留下了秩序关联。

　　即最简本原解方程 p-q=2m 在本原解方程的基础上根据内积消去律消去了属于一对正交基的向量组（1■◆◆■■★，b，c）T。最简本原解通过还原两类消去律，将得到所有通解。在这里素数基础解系就是素数核空间，就是素数基底解集。

　　我们来证明这一命题。假如（p4-p2）为定值时的解集是有穷的，那么大于p4的2w-2就不能用两素数之差来表达，超大偶数即大素数区域就不能构造紧邻偶数，就不能产生无穷无漏的后继偶数，这与斋藤猜想矛盾★■◆。由此可得（p4-p2）=2w-2（w为定值）也有无穷组解，将这个运算迭代运行下去，必将得到（p4-p2）=2 也有无穷组■◆★。于是孪生素数猜想获证■★■◆。

　　1.4■◆■◆★■.斋藤猜想③的推论：（p1-p3）-（p4-p2）=2 有匹配的无穷组解■★■■★■。

　　因为例外偶数定义了不存在形如（p+q）这样的素数基底解集■■。故例外偶数的通解定是空集◆★◆。前面已经证明了，全集偶数都必有素数基底解集，例外偶数作为全集偶数的一个类型偶数子集，也不■■■★◆◆“例外”◆■★，类型偶数也必有素数基底解集，一旦没有素数基底解集，那只能是空集。可见是例外偶数的定义决定了例外偶数是空集，知道例外偶数是空集，又知道全集偶数是例外偶数与可表偶数的并集，立马就可推理出大于6的可表偶数与大于6的全集偶数等价。

　　160多年来，强孪生素数猜想的证明一直没有获得根本进展★★◆。作者用相邻论这个数学工具进行分析，发现强孪生素数猜想随着哥德巴赫猜想原题的解决■◆，其内在秘密也一并浮出水面，两个猜想其实是一荣俱荣、一损俱损的等价命题。 早在 20 世纪初，希尔伯特在一次国际数学大会上公布了23个重大数学问题■◆◆★★，其中第八个问题，就是哥德巴赫猜想◆★★◆、孪生素数猜想以及黎曼假设，可见这三个问题是紧密关联的。强哥德巴赫猜想成立■■★，强孪生素数猜想就成立■◆★★★，继而黎曼猜想也就成立◆■★◆★。而哥德巴赫猜想原题★◆■，作者用重合法和相邻论已经完成证明，最早发表在国内专业数学期刊《数学学习与研究》2013年第3期上，该论文还收录于作者的数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》一书里，于2019年9月由海天出版社出版■■■◆。而孪生素数猜想的证明也于2017 年已收录进《深圳基础理论原创文集》一书中，并于2019年编进了数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》一书里★◆◆★，本文是对孪生素数猜想如何获证的一次科普阐释。

　　[5] 纳森 ★◆◆■★■. 加性数论（经典基）: 英文版 [M]. 北京：世界图书出版公司北 京公司，2012.

　　（参考《差值等于2n（n≥1）的素树对各有无穷组》p085第16行前后内容。）

　　（前一个为强化版梁定祥猜想，可直接推导后一个成立，而后一个成立则 尚不能判定前一个成立。） 我们来证明前一种情况，因为前一种情况已经包含了后一种情况★■。前一种 可以等价变换为 p1+p2=18n–2。即孪生素数之和可以获得公差为 18 的等差数列。公差为18的等差数列与孪生素数组存在一一映射的关系◆◆。我们来证明这个猜想。

　　与可表偶数A互异的叫例外偶数B，全体例外偶数B与全体可表偶数A约掉一个共因子2后一定是同所有可表偶数中的素因子互素的，即 A=2m★■■◆，B=2h，则（m，h）=1。

　　量子幽灵似的直觉■★★◆，超距时空通信★★，是因为还存在着一种数学新工具，一种非皮亚诺公理体系◆◆■■■■。皮亚诺公理体系定义的自然数序列其相邻关系是彼此相等的■◆★，而非皮亚诺公理体系定义的另类自然数序列其相邻关系是不一定相等的★◆◆◆★。素数序列是该另类自然数序列中的一种，互异素数特征向量就是一种另类自然数序列，重合法和相邻论就是研究这两类自然数相互流变关系的。相邻论和重合法就是为了领悟非皮亚诺公理新体系做准备的。这是证明希尔伯特第八问题所带来的本质收获■◆。量子论正在呼唤不是等量间隔后继延申的非皮亚诺公理新体系的出现■◆■★。领悟大道理要靠自明◆◆■■◆◆，不可仅依赖已知的逻辑推理◆★◆◆■。

　　我们还可以证明存在无穷组素数其间隔差为定值2w，用反证法来证明■★★■◆。如果间隔差可列的每类素数对都是有限组的，那么差值2，差值4★★，差值6……差值2k的素数对将在某个定值2m后不再出现◆★■★◆★，这就意味着间隔2k的素数组是有限组的■◆■◆，也就是说紧致素数是不存在的，这同素数的差值的差值小于定值有无穷组相矛盾。故◆■“间隔差可列的每类素数对都是有限组的★■◆◆◆★”这个命题是不真的◆◆★★■■，因此必有差值为某一定值的素数对是拥有无限组的，这个间隔定值可取2w★◆■★◆■。根据2n=p-q的推论，必有（p1-p3）-（p4-p2）=2（从相邻偶数关系推理而来），现已知（p1-p3）=2w 拥有无穷组★★◆■■★，那么与之匹配的间隔差值的差值等于2的素数对（p4-p2）就一定也拥有无穷组，否则就不能产生无穷无漏的后继偶数。

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　　因此 2（n-p 小）中素数因子有缺位的假设是错的■★■◆，故 2（n-p 小）中囊括了所 有的奇素数因子◆★。说明奇素数相减所得到的偶数囊括了所有素数因子。 我们知道所有自然数加素数 n+p=k 是仍等于所有自然数的，故所有自然数 减素数也必囊括了所有自然数，即 n=k-p■★，刚已知 k 亦为所有自然数。故（n-p 小）确实仍为自然数全集■◆◆★■。 根据哥猜证明的结论，用两不同奇素数相加所定义的可表偶数是包含所有素数因子的，且证明了可表偶数的数乘存在不能扩域的性质，证明了可表偶数就等价于全体偶数★◆。而且两奇素数相减的可表偶数★■■★，同样没有例外偶数◆★，它的数乘也不能扩域，证明方式同证明哥猜一样。因为可表偶数的二元加法运算是封闭的，其逆运算二元减法运算在可表偶数上也是封闭的■★★，通过方程的移项■■◆■，即可获得■★■◆★★。

　　完成证明孪生素数猜想可以推动量子力学的发展。量子纠缠■★◆，量子叠加和坍塌■★◆◆■◆，测不准原理■■★■★，不相容原理皆可用相邻论数学思想来解释★■。不确定是确定的扩域函数■◆■，不相容是相容的推广概念，皆可看成是纠缠态的反映。不同空间的规律处处等效，这是相对论，同一空间的规律时时有别，这是量子论。二者是互补律，不能彼此替代。它们发生在双方共有的封闭空间里。

　　如果对以上证明不是令您心服口服★★◆■，还可以用能直觉理解的互异互素思想来证明例外偶数是空集。

　　基于这样一个思想，我们可以构造不同角度的可表偶数定义■◆◆。利用该定义可先完成证明哥猜成立■★◆■★◆，也可完成斋藤猜想的证明。以斋藤猜想获证作为引理，可证明孪生猜想成立。

　　下面我们就来看如何用相邻论和重合法这两类数学工具★◆■■，完成证明孪生素数猜想的◆■★■■★。

　　p1+p2 能得到右边的偶数是确定无疑的，18n-2 是 18n 的相邻偶数，两素数之和能持续得到相邻偶数，只有一种可能，p1+p2 中有孪生素数。为了满足 n 的各种可能，p1+p2 都必须是孪生素数★■◆■，如果 p1 和 p2 不是孪生素数◆★■★◆■，就无法获得相邻递增偶数或相邻递减偶数。通过哥德巴赫猜想证得，18n-2 是偶数，可用两素数之和表示★★◆■，再由相邻论得知，18n-2 是偶数 18n 的相邻递减偶数◆◆★★■◆， p1+p2 若要获得相邻递减偶数，需要新增孪生素数与原来已有素数相加获得◆◆■■◆★，或需要新增素数与原来已有孪生素数相加获得，相邻论用反证法已经证明了这个判定成立■◆◆◆★。素数两两相加只有孪生素数参与★■■★◆，才能构造出相邻偶数。

　　……上下相邻相减，留下变量素数组■◆◆，常量素数组去除◆★■，等式右边可获得相同不变的差值2★◆■★◆★，等式左边可获得不断递增的素数组■■★■，它们是不同素数区间上的素数组，可差值的差值都等于2。 可见方程的两对素数差值存在协变递增而差值不变◆★。（pi-qi）大-（pi-qi）小=2有无穷组解■◆★★★■；（pk-qk）大-（pk-qk）小=2n有无穷组解，n可以为任意正整数的定值，波利尼亚克猜想获证。

　　可表偶数的二元加法运算封闭，即可表偶数的数乘封闭，等价于可表偶数在全集偶数中的互补偶数没有任何新偶数，也就是说不同于可表偶数的例外偶数是空集。根据算术基本定理，可表偶数是全集偶数中的一个子集，是通过抽离某些因子后所得到的子集■★★★，那么可表偶数通过还原数乘因子就定可得到全集偶数。可见可表偶数是全集偶数的单位元。例外偶数由于不能用可表偶数表达■★◆■■★，故例外偶数作为全集偶数中的一个子集，并没有全集偶数中的单位元，故例外偶数就不存在通解◆◆★◆。特征值所对应的单位元之最简本原解是空集★■，线性变换所对应的单位元之最简本原解是空集。于是它们的通解定是空集■◆★◆。

　　下面我们就来分割整数★■◆■◆★。不小于8的全集偶数皆可分割为一对互素的奇素数之和（偶数分割本原解三元方程）。故不小于8的全集偶数就一定有最简本原解三元方程。因为本原解方程三元互素，在满足结合律和交换律的前提下，方程右边偶数项必有含所有奇素数域的一个素因子，方程左边的两奇数项也必各含所有奇素数域的一个素因子◆■★，所以必有纯素数基础解系方程p+q=2w（p■◆★◆■★、q、w 为任意奇素数）。如果w不为任意奇素数，2w的数乘亦无法还原得到不小于8 的全集偶数，因为在偶数最简本原解不小于8的基础上，任意数乘都会得到多个素因子数或多个2因子数◆◆★★，这样通项就会有无数偶数漏项，矛盾，故 p+q=2w是全集偶数分割可得到的最简本原解三元方程，三元一定各含所有奇素数因子域，也就必有匹配的正交基增广线性组与之线性相关，可还原得到偶数分割本原解三元方程。

　　2.1■★■◆◆■.3■◆★◆★.因为偶数的相邻差值为2◆■★■★■，故可得到斋藤猜想的推论：（p1-p3）-（p4-p2）=2有匹配的无穷组解■◆◆◆。

　　假如第一组间隔素数对或有限组间隔素数对为有限长，就意味着第二组或后继组稍大间隔的素数组必因无限长而导致须素数数列无限长，因后面没有可隔断第二组的其它有限长数列了■★，但所有的素数给定等差间隔数列都是有限长的。这个很容易证明，当素数数列的个数含2p因子时◆◆，素数数列就中断了，所以具体给定的素数数列都是有限长的◆■★◆★■，故假设第一组素数对或有限组素数对不无穷递增会与素数存在无穷个和素数数列有限长而产生矛盾◆◆■★■■。所以（p1-p3）-（p4-p2）=2 中的两组素数的差值皆为定值时都是无穷递增的，差值为任何定值的素数数列可以有限长◆■★■，差值为任何定值的素数数组不能为有限长◆◆。陶哲轩的素数数列无限长是从非给定的素数等差数列角度来说的◆◆◆★，因此并不与他的思想冲突★★◆■■。

　　由此可得（p4-p2）=2w-2也必有无穷组，将这个运算迭代运行下去◆★，必将得到（p4-p2）=2也有无穷组。于是孪生素数猜想获证。以上也同时证明了2n中所有定值2w作为素数间隔的素数对都各有无穷组，而这正是波利尼亚克猜想。

　　又依次把新一类的（p1-p3）作为新的（p4-p2）代入等价的 2kn，可知素数差值（p1-p3）=8 有无穷无漏组； …… 通过以上后继迭代，可知两素数之差可表所有偶数■★★★◆，（pi -pj ）=2n◆◆，即每个偶数都可以至少用一对奇素数之差表示◆■，而这个就是斋藤猜想★★。

　　根据皮亚诺公理◆◆◆◆■★，正偶数是从2开始差值为2的全部后继整数的集合。因此可知 2（kn+1）-2kn=2 有无穷无漏组■◆◆◆■■，已知孪生素数有无穷无漏组◆■，即（p4- p2）=2有无穷无漏组◆★，把（p4-p2）代入等价的2kn■■■◆★★，可知与前者匹配的素数差值（p1-p3）=4 有无穷无漏组，否则产生不了“差值的差值”的非孪生后继素数对■■，已知无穷密集延伸的素数对是不可能存在的■■★◆，大于3的三个等差奇数绝不可能全是素数，必有含3因子数，因此必须要有间隔为非2的素数对产生，才能保证素数之间★■★“差值的差值”能产生后继偶数，继而才有无穷素数的递增。

　　陶哲轩也给出了差值有限的素数对存在无穷组■★■◆■■，是可给定的有限的大偶数■◆★★★，并非定值无穷数列，而是差值增大时可相应不断增长的有限长数列，是指在每次延长上指向无穷长。但数列组是可确定无穷。给定差值的素数对存在无穷组，陶哲轩的结论已经包含，是存在性的有限值★■◆■。从无穷到有限■■★◆■◆，并非张益唐首先完成■◆，张益唐首先公开完成的是将差值有限进行了具体值的给出。将可给定的足够大偶数，确定到了下确界7000万内■◆◆。但在证明强孪生素数猜想问题上，陶哲轩的结论和张益唐的结论所起到的作用是一样的★★■★◆，尽管张益唐的更靠近些。2016 年 7 月在南方科技大学笔者有幸听了张益唐教授所作《素数的间隔》的报告。张教授在报告会上坦言◆★■■■，哥德巴赫猜想比孪生素数猜想更难一些，命题更强★◆■■◆。张益唐的成就彰显了解析筛法仍有威力，但在鸽笼法和递归性上没有得到彻底展开■★★，仅仅小试了一下牛刀。作者用哥德巴赫猜想两素数原理可同样直接得到张益唐的证明结论，而哥德巴赫猜想两素数原理又是在归谬法的基础上才精准获证的■★◆★◆◆，也是用活归谬法的结果，而向生成元递归的鸽笼法更加重要。归谬法易接地气■◆◆◆★，而鸽笼法善明方向。两者结合就成为强大的数学工具◆★★■★■。而数学归纳法则隐性包含了这两个工具，初项命题为鸽笼法◆★★■，后继命题为归谬法◆■★◆■。

　　[1] 司钊，司琳 . 哥德巴赫猜想与孪生素数猜想 [M]. 西安★■■：西北工业大学 出版社，2002.

　　继续定义 p-q=2m，其中2m的数乘等于2n，即2n的通解是2m的数乘。（其中 p★★■、q 为奇素数） 我们再来定义 p-q=2m为可表偶数★◆■◆，2m´为不同于可表偶数的例外偶数◆★★■◆，那2m就是间隔偶数方程的最简本原解。

　　通过数学新工具相邻论和重合法开启了整数不等量分割和等量分割可以相互转换的暗门枢纽。一个朴素的数学规则被呈现：因单位元缺席，无素数基础解系的例外偶数不存在，因累积互素◆◆★★■，无素数因子可构造的例外偶数不存在。

　　那如何证明可表偶数就一定是全集偶数中的单位元呢◆◆■■■★？证明并不复杂★■◆，根据伯特兰-切比雪夫定理◆◆■■■，全集偶数中的任意偶数都可以通过减去任意一个大于中值数的素数得到另一个小于中值数的奇数（含素数）■◆★，即p+bq=2n，p■■★◆★★、q是奇素数■★■★◆，b是正整数，n是大于3的全体自然数■★◆，其中p+bq=2n，可等价变换为◆◆■★■，（p+q）（1+b）T=2n，即全集偶数2n是可表偶数（p+q）的线m是可表偶数◆★★，c是系数向量（1+b）T所对应的特征值，c取有理数。

　　还记得希尔伯特的特征值方程么？Av=λv★◆，v为特征向量，A为矩阵变换即系数向量，在偶数分割方程中，它对应（1+b）T，λ为特征向量上的变换系数所对应的特征值，偶数分割方程中，它对应c，没有用两互异素数之和表达的单位元特征向量，便没有例外偶数的函数值。因为全集偶数定是单位元可表偶数2m数乘c的值，或是基底解可表偶数（p+q）的线+b）T后的值，空集的单位元，其数乘c后仍是空集★★，空集的基底解，其内积（1+b）T后仍是空集。

　　张益唐的证明结论，本文作者已独立用另外的方法证得。哥德巴赫猜想本身含有这样的结论。根据哥德巴赫猜想的成立★◆★■★■，证明了斋藤猜想成立，即两素数之差等于 2n★★，p1-p2=2n，小于 p1 或 p2 的两素数间隔存在任意给定偶数 2n★◆■★★◆，大于p1 或 p2 的两素数间隔依然存在任意给定偶数 2n。如果不存在这样的新增素数对p3 或 p4，根据素数差值的差值等于2，可推理出无穷素数不存在■★■◆，于是归缪可证差值等于2n 的新增素数对存在.

　　另外定义两奇素数相减为可表偶数也一样可获证明，它同全集偶数等价，因为可表偶数的数乘不会扩域，且数乘后又必须与全集偶数等价◆★◆■★，只能说明定义的可表偶数就是全集偶数。哥猜一文已经完成该命题的详细证明。所以 2（n-p 小）为全体偶数■◆■，故两素数之差可以获得任意偶数。而这个数学判断就是斋藤猜想，这样斋藤猜想因哥德巴赫猜想成立也就获得了证明，哥德巴赫猜想和斋藤猜想可看成是等价命题。只是由斋藤猜想推导哥德巴赫猜想成立则更直观些◆■★。

　　假如没有无穷无漏非孪生素数对就没有孪生素数的无穷无漏延伸，假如没有无穷无漏间隔为2n+2 的素数对就无法产生素数差值的差值为紧邻偶数。2n的无穷无漏组素数对包括孪生素数，如此偶数集合就会是有漏的集合，于是矛盾， 故差值为2n的素数对有无穷组就是正确的■◆★。

　　根据递归原理，在哥德巴赫猜想成立的基础上得到素数对差值的差值公式■■★，据此公式可进行递归求证。因为有哥德巴赫猜想两素数定理： p1+p2=2n 还因为相邻偶数的差值等于2，所以有■■★：

　　（p3+p4）-（p1+p2）=2 代数变换可得到：（p3-p1）-（p2-p4）=2◆■◆◆，因此我们得到素数对差值的差值等于 2 的判定公式，在此基础上就可以进行递归推理了。 已知差值等于 666 的素数对存在无穷组■◆★，那么可得知与之匹配的素数对也有无穷组◆★。

　　这个类似结果可以用反证法来证明，如果间隔差可列的每类素数对都是有限组的◆■◆，那么差值 2，差值 4，差值 6……差值 2k的素数对将在某个有限间隔2w后不再出现间隔素数对，这就意味着间隔2k的素数对是有限组的◆★★■★★，而间隔为不定值且要＞2w的素数对会与伯特兰定理相矛盾。加上素数数列是有限长的■★◆■◆◆，也就是说无穷素数是不存在的，这同欧拉已证明的素数有无穷个相矛盾。假如无限种偶数间隔的素数对可无限延申★◆，但每组有限长素数数列彼此之间的间隔与素数数列间隔是必须互异的，组间隔有限，意味着超大素数数列之间不再有组间隔，这就会出现无限长素数数列，于是矛盾★◆★■■◆。故“间隔差无穷可列的每类间隔素数的对数都不超过某一有限对数的”这个命题是不真的★◆■★，因此必有差值无穷可列的素数对是拥有无限对数的，这个无穷可列的素数对间隔差可取定值2w■★■，相应的素数对数也会趋于无穷大◆◆■■★◆。说明任一素数数列的组间隔有限与组个数有限都会产生矛盾。于是间隔为定值2w的素数对必有无限组是成立的。这个命题与张益唐的证明结果有等价意义，都是素数间隔定值，虽然没有张益唐的素数间隔小◆■◆■，但有另外的非凡意义。说明这样的定值在无限偶数中都可能存在■◆★，如此离波利尼亚克猜想更接近。用“定值间隔的素数数列有限长定理”，“素数数列数组无限长定理”（不定值间隔的素数数列无限长定理即格林-陶定理是其中一个特例）和“伯特兰-切比雪夫定理”就可证明同张益唐定理一样重要的结论。

　　本文将证明它是如何成立的。在证明之前■◆◆★◆■，我们围绕该问题来漫谈下其数学思想的背景及其应用★★★，以便为解决该问题准备些数学变换和数学优化方面的数感。

　　1.已知■★★◆★■： n=1 时，18=11+7，11 和7都是孪生素数； n=2 时，46=29+17，29 和 17 都是孪生素数组中的素数★◆■★； n=3 时★◆■■★■，54=43+11■■★◆■★，43和11 都是孪生素数◆★■◆■■。 2★■◆. 且存在◆◆： 如果 36s=p+q，p 和 q 都是孪生素数；那么 36s=p1+q1-36★◆■■◆★，9（k+t+5）=p1+q1； 由于 k1+2，t1+2■◆★★■，它们的奇数还是奇数，偶数还是偶数◆■★◆■，数性不变； 所以（k+2+t+2+1）属于（k+t+1）的数集中说明当 36s 可用两孪生素数之和表示时■■★■，36（s+1）也可以用两素数之和表示。且每个 k■■■，t 互为奇偶数时■◆■◆■◆，都可以用两素数之和表达。这个结论是根据哥德巴赫猜想得到的★◆。因此证明梁定祥猜想要用哥德巴赫猜想做引理才能完成数学归纳法的证明■■◆。

　　由于所有偶数都必有通过偶数互异分割方程（2n=q+pp1p2p3……）经点乘和叉乘逆运算后得到的最简本原解，可表偶数就是用二元单素数表达的最简本原解。根据偶数互异分割方程可知★◆■■★，所有偶数都是可表偶数（2m=q+p）的c数乘，q、p为奇素数，m为整数◆◆■■，c可定义为有理数，2n=2mc◆★★■★，是二元素数向量的点乘或叉乘。而非可表偶数没有该最简本原解，也就没有点乘和叉乘后的通解，可表偶数的数乘不扩域，故与可表偶数互补关系的例外偶数就一定是空集★◆★，从而证明了二元加法运算在可表偶数上封闭。

　　虽然给定差值不构成无穷素数数列，数列是以数对间隔来延申后继数对的◆■◆★★◆，而数组是以非数对间隔来延申后继数对的，但素数间隔为定值的数对会无穷出现在非等差延申的数组中，当 n=1 时★◆◆，素数存在无穷组的解满足方程p-q=2n，此为强孪生素数猜想，当n取大于1的任意一个确定整数时，素数p和q都有无穷组解。此即1849年，法国数学家波利尼亚克①（Polignac）提出的猜想：p-q=2n，即每个偶数等于两奇素数之差都有无穷组解可满足方程要求■◆■★★◆。

　　判定所有奇素数p的两倍为一般可表偶数还有更简洁的证明★★◆★。仅证明2p为普通可表偶数就能简洁证明欧拉型哥猜成立。因为2p=p+p（p为奇素数）■★■，满足一般可表偶数的定义，即能用两个素数之和表示★◆■◆★■，说明一般可表偶数已含所有的奇素数因子，再加上2×4=3+5，可见一般可表偶数除以2后也蕴含偶素数因子★■★。在此条件下，再使用自然数相邻互素定理就能很容易证明欧拉型哥猜成立◆■。但互素型哥猜要想获证，还需要以下新的思路■★★★◆。

　　孪生素数猜想说明了在不同的时空参照系里有相同的规律呈现（素数数列有限长定理）■■★，这是相对论的数学思想（等效原理）■■◆★◆◆；在同一的时空参照系里有不同规律呈现（素数数列组数无限长定理）■◆■■★，这是量子论的数学思想（不相容原理）★★◆★★。

　　孪生素数猜想仅仅描述了孪生素数无穷性的一面，孪生素数与自然数一一 映射的无漏性一面并没有得到体现。而梁定祥猜想正好完成了这样一个无漏性的孪生素数函数表达式，即孪生素数的位置是可判定的★◆★■■。36 与任何非0自然数的平方乘积，可以表示为两组孪生素数之和。这个简洁的判定就是梁定祥猜想■■。这个猜想是哥德巴赫猜想和孪生素数猜想的更华丽展开，它不比哥德巴赫猜想的势级⑤弱多少，而是近乎等价，彼此都不能直接证明对方，其重要地位目前还无法估量，它透露了龙头素数的分布规则。

　　互素版哥德巴赫猜想的核心证明■★◆◆，笔者于2013年2月已发表于《数学学习与研究》的杂志上■◆★，并收录于《深圳基础理论原创文集》（数学物理卷）一书中■★★◆，该书由海天出版社于2017年5月出版。后经修改★■◆■◆，该论文收录于作者的数论专集《数学底层引擎相邻论和重合法》一书里，于2019年9月由海天出版社出版。重合法是组合数学中的等价变换工具◆■◆★◆■，相邻论是组合数学中的简化优化工具◆■，两者结合可解决互素版哥德巴赫猜想。欧拉版哥德巴赫猜想是互素版哥德巴赫猜想的一个推论■◆■■★，互素版哥猜获证可推动久未解决的系列相关猜想获证★★，有多米诺骨牌效应，以此作引理，斋藤猜想、强孪生素数猜想、波利尼亚克猜想以及梁定祥猜想、克拉梅尔猜想亦获证明◆■★。

　　根据互素型哥德巴赫猜想获证，可知p大+p小 =2n 是成立的（n为小于或等于 4 的自然数■◆★，p 为奇素数，等式两边同时减去 2p小）则 p大-p小=2n-2p小 =2（n-p 小）， 当 n 为任意自然数时，p 为任意素数■◆，虽然 p 小不是常量，依然能证明 n-p小可 以获得所有自然数，2（n-p小）仍为全体偶数◆★★■。证明的要点是： p 大 +p 小 =2n 是两两互素的，p大 -p小 =2（n-p小）也是两两互素的。 因为（n-p小）作为自然数中素数的■★★■★◆“补集”，把素数★◆■★★“剪除★◆”了，一定是所有合数◆★，而所有素数的 2 倍是自然数 n 中的一个合数子集，该子集分别一一 减去所有的素数◆◆★★■★，可相应得到所有的素数（哥猜推论）；另外也能得到偶素数 007 差值等于 2n（n ≥1）的素数对各有无穷组 2 和单位数 1。因此（n-p 小）是可以获得所有合数，也可以获得所有素数的， 即（n-p小）依然可囊括自然数全集◆◆★■，可证 2（n-p 小）为全体偶数已经具备充分 条件。再看 2（n-p 小）为全体偶数是否具备必要条件？是不是只有 2（n-p 小）为 全体偶数才会有任意匹配的 p 大 -p 小？回答是确实如此。根据在 p 大 -p 小 =（2 n-p小） 中，左两素数项与右一偶数项是两两互素的，2（n-p 小）必须囊括所有素数因子■◆■◆■■。 可用反证法证明★★★◆◆★，如果有素数因子 r 缺位，那么 2（n-p 小）必不含 2n r，而 2n r-3 要么是奇素数，要么是奇合数。 若是奇素数的话，p 大 -p小就不能包括所有素数了◆★★■■，有新缺位素数，与定义 矛盾■★★■◆◆； 若是合数的话，因三元互素★★◆★★■，定能分解出新素数因子， p大-p小就一定不能 包括所有素数了，显然也与定义矛盾，p大 -p小是包括所有奇素数的，即素数要求 是无漏无穷的，可见 2n r-3 是素数是合数都与左边减项中包含所有奇素数的定义矛盾。

　　因此非成对非等同的两孪生素数相加一定能产生 9 因子偶数★■，由于其他类型素数两两相加不能获得◆■，而两素数相加是可以获得所有 9 因子偶数的◆◆★■◆◆，既然其他类型的素数两两相加不能获得，那么只能全部 9 因子偶数皆属于非成对◆★、非等同、非模3同余的孪生素数两两相加构成◆■◆◆★，无一例外。

　　到此我们证明了一个重要引理，奇数不等量分割方程的整数域二维线性空间必有互异素数差值基底。

　　同理可证 pn 或 pn+1 的间隔等于2n也 存在★■★★◆◆。当素数差值呈现自然数级递增时，就可不断得到： p1-p2=2n◆★■， p4-p3=2n， p6-p5=2n， p8-p7=2n， …★■◆■， pn-pn-1=2n★★◆◆■■， 因为偶数可无限延伸■★★◆■◆，故可以任意截取相等的2n差值，都有素数差可以匹配获得。显然有限可确定的差值等于2n 的素数对总有无穷组★★■。这个结论用来证明强孪生素数猜想时，和张益唐的结论效果是一样的。

　　能用两个不同奇素数之和表示的偶数叫可表偶数，只能用两个以上奇素数之和表示的偶数为例外偶数，而这样的例外偶数必定是空集。即加法二元运算在可表偶数上是封闭的。且其推广，加法n元运算在可表偶数上也是封闭的★■。可表偶数也叫基础偶数★★。例外偶数就是可表偶数（或说基础偶数）在全集偶数上的补集◆◆■。

　　也可先证明所有素数的2倍是可表偶数，从而得到可表偶数蕴含所有素数因子。先证明2p为互异型可表偶数★★■◆★★，p囊括了所有奇素数★★◆★◆。

　　前文根据斋藤猜想或哥德巴赫猜想的推论（p1-p3）-（p4-p2）=2 有无穷组解■■★■◆★， 即共轭差之差等于2的奇素数对有无穷组，只要共轭差等于任何偶数2k的素数对有无穷组，即根据陶哲轩的◆■“素数等差数列可任意长◆★■◆”（格林-陶定理）就可以推理出共轭差等于 2k-2 的素数对有无穷组★★◆■◆★，否则无法匹配产生差值2◆★◆■■■，即无法保证产生每一个后继偶数■★，由此可推得孪生素数猜想成立★◆◆★。但因其不是定值的等差数列，故得到的推论还是不够严谨的。但我们已经证明了◆■，间隔为定值2w的素数对有无穷组★★■◆★，再根据斋藤猜想获证的一个推论（p1-p3）-（p4-p2）=2 有无穷组解，就可证明孪生素数猜想成立。其实反过来，如果孪生素数猜想成立，也一样可以推理出哥德巴赫猜想成立。

　　有人会问◆■★★，后继生成的可表偶数与前继可表偶数，也存在互异相邻，相邻互素◆★◆，为何新生成的可表偶数不会是空集呢？这是因为例外偶数与新可表偶数的内涵定义是不一样的：那就是例外偶数同所有可表偶数是全体互异的，而新的可表偶数同所有可表偶数不会全体互异，而是它们的子集■■◆。可表偶数与新可表偶数存在互异远邻，远邻同素或重合同构■★■★★■，同构等价的关系★◆■◆★，如2a与（2a）^2就远邻同素，2a与2a就重合等价。而可表偶数与例外偶数则不存在这种关系，首先它与可表偶数不会重合等价，其次也不会远邻同素★★◆★，因为第一个例外偶数2h，其中h不但与可表偶数2m中的m1互异互素，且与m2★◆◆、m3……mi都互异，且必与其一亦相邻互素■★，还要与剩下的也相邻互素，直到全部。

　　根据哥猜获证p+q=2n及偶数性质可得到素数的差值的差值方程和偶数间隔关系★★◆，以下n为定值。该命题前文已经证明，现换个角度也可得到证明◆★◆◆。

　　我们定义含所有奇素数域的两个不同奇素数相加所得到的全部偶数为可表偶数2m，显然2w为可表偶数的子集，于是m就含所有素数因子域★★◆◆◆，包括偶素数■★。可表偶数2m是2w的数乘得到的◆◆◆，它是例外偶数2m关于全集偶数的补集。根据邻函数性质（a+b=c，若a、b互素，则a、b、c三元互素■★★◆★◆，同理若m+1=n★★■★，则m,n必互素），故例外偶数与可表偶数约掉公因子2后是相邻互素的。根据例外偶数2m的定义◆★，它是不能用两奇素数之和表达的偶数。故它不含2w，所以有关它的整数数乘就是空集，即便是有理数数乘也是空集。没有单位元的数乘皆为空集■★，所有的二元素数表达都不属于例外偶数，例外偶数没有数乘单位元。

　　因此■◆★，欲要 p1+p2=18n 或 18n-2 成立■★◆◆■，就必须让 p1 和 p2 的定义域双双满足都是孪生素数◆★■。一般偶数的每次相邻递增★★■■，素数相加至少需要有一个是孪生素数参与★◆■■，这是必要条件，才能让等式恒成立。由于 18n 是含有 9 因子的类型偶数，不是 2n 全集偶数中其他一般偶数，因此含有 9 因子的类型偶数◆★◆，都是孪生素数这种类型素数两两相加获得的◆■★★，除此之外的类型素数不能满足该条件，如 47+37，且不说它们相加无法获得相邻偶数■■■★，它们的和也不能整除 9，否决一个类型判定仅需一个例证。由于哥德巴赫猜想已经证明两素数相加是可以获得不小于 8 的所有偶数的◆■★★，因此所有含有 9 因子的类型偶数都是孪生素数相加 构造的，舍此没有其他类型素数能够胜任★■★■■。